线性代数学习笔记

学数论学自闭了，感觉线性代数还可以。

供自己复习用。

矩阵

一个具有 \(n\) 行 \(m\) 列元素的矩形阵列，形如：

\[ A=\begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,m}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,m}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,m}\\ \end{bmatrix} \]

• 主对角线：\(A_{i,i}\) 的元素。
• 单位矩阵：主对角线为 \(1\)，其余为 \(0\) 的矩阵，记为 \(I\)。
• 方阵：行数和列数相等的矩阵。
• 同型矩阵：行数和列数分别相等的矩阵。

矩阵的运算

矩阵的加减

只有同型矩阵才可以加减，直接将对应位置加减即可。

转置矩阵

将矩阵行列互换，记作 \(A^{T}\)。

矩阵乘法

设 \(A\) 是 \(N \times K\) 的矩阵，\(B\) 是 \(K\times M\) 的矩阵，则乘积 \(C\) 为：

\[ C_{i,j}=\sum\limits_{i=1}^KA_{i,k}B_{k,j} \]

方阵的逆

若有方阵 \(P\) 使方阵 \(A\times P=I\)，则称方阵 \(P\) 为方阵的逆矩阵。

逆矩阵不一定存在。

行列式

积和式

方阵 \(A\) 的积和式为不同行不同列所有排列 \(p_i\) 的乘积之和。显然，这样的排列有 \(n!\) 个。

行列式

在积和式的基础上，记 \(\pi_i\) 为 \(p_i\) 中下标的逆序对个数，那么对于每个 \(p_i\) 乘积，累加时赋上符号，若 \(\pi_i\) 为偶数，则为正，否则为负。

\[ \det(A)=\sum\limits_{i=1}^{n!}(-1)^{\pi_i}\prod\limits_{j=1}^{n}p_{i,j} \]

一些性质：

• 转置矩阵的行列式不变。
• 交换任意两行（列）行列式取反。
• 某一行（列）乘 \(k\)，行列式乘 \(k\)。
• 某一行整体加上另一行，行列式不变。

伴随矩阵

余子式

矩阵 \(A\) 第 \(i\) 行 \(j\) 列的余子式：

\[ M_{i,j}=\det A'_{i,j} \]

其中 \(A'_{i,j}\) 表示删除矩阵 \(A\) 第 \(i\) 行 \(j\) 列后所得矩阵。

代数余子式

矩阵 \(A\) 第 \(i\) 行 \(j\) 列的代数余子式：

\[ C_{i,j}=(-1)^{i+j}M_{i,j} \]

伴随矩阵

矩阵 \(A\) 的伴随矩阵 \(\text{adj} A\) 为 \(A\) 的余子矩阵的转置矩阵。

\[ \text{adj} A=C^{T} \]

可逆矩阵

对于可逆矩阵，\(A^{-1}=\dfrac{\text{adj} A}{\det A}\)。

若矩阵不可逆，则 \(\det A=0\)。

线性空间

若代数系统 \((V,+,\cdot,\mathbb{P})\) ，其中 \(V\) 为向量集，\((V,+)\) 为阿贝尔群，\(\mathbb{P}\) 为域，\(\cdot\) 为数乘运算，满足以下条件：

1. 数乘：\(\mathbb{P}\) 中元素 \(p\) 与 \(V\) 中元素 \(v\) 运算结果 \(pv\) 在 \(V\) 中，且有意义，且满足封闭性。
2. 数乘对向量和标量都满足加法分配律。
3. 数乘满足结合律。
4. 存在标量乘法单位元。

则称其为线性空间。

线性相关与线性无关

若向量组 \(a_i \in V\) 和任意标量组 \(k_i\in \mathbb{P}\) 满足 \(\sum k_ia_i=\theta\)，则称这组向量线性无关，否则称线性相关。

零向量与任意向量线性相关。

线性基

线性空间 \(V\) 的一个极大线性无关组称为 \(V\) 的一组线性基，简称基。

\(V\) 的维数记为 \(\dim V\)，为线性基元素个数。