线性代数学习笔记
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学数论学自闭了,感觉线性代数还可以。
供自己复习用。
矩阵
一个具有 \(n\) 行 \(m\) 列元素的矩形阵列,形如:
\[ A=\begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,m}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,m}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,m}\\ \end{bmatrix} \]
- 主对角线:\(A_{i,i}\) 的元素。
- 单位矩阵:主对角线为 \(1\),其余为 \(0\) 的矩阵,记为 \(I\)。
- 方阵:行数和列数相等的矩阵。
- 同型矩阵:行数和列数分别相等的矩阵。
矩阵的运算
矩阵的加减
只有同型矩阵才可以加减,直接将对应位置加减即可。
转置矩阵
将矩阵行列互换,记作 \(A^{T}\)。
矩阵乘法
设 \(A\) 是 \(N \times K\) 的矩阵,\(B\) 是 \(K\times M\) 的矩阵,则乘积 \(C\) 为:
\[ C_{i,j}=\sum\limits_{i=1}^KA_{i,k}B_{k,j} \]
方阵的逆
若有方阵 \(P\) 使方阵 \(A\times P=I\),则称方阵 \(P\) 为方阵的逆矩阵。
逆矩阵不一定存在。
行列式
积和式
方阵 \(A\) 的积和式为不同行不同列所有排列 \(p_i\) 的乘积之和。显然,这样的排列有 \(n!\) 个。
行列式
在积和式的基础上,记 \(\pi_i\) 为 \(p_i\) 中下标的逆序对个数,那么对于每个 \(p_i\) 乘积,累加时赋上符号,若 \(\pi_i\) 为偶数,则为正,否则为负。
\[ \det(A)=\sum\limits_{i=1}^{n!}(-1)^{\pi_i}\prod\limits_{j=1}^{n}p_{i,j} \]
一些性质:
- 转置矩阵的行列式不变。
- 交换任意两行(列)行列式取反。
- 某一行(列)乘 \(k\),行列式乘 \(k\)。
- 某一行整体加上另一行,行列式不变。
伴随矩阵
余子式
矩阵 \(A\) 第 \(i\) 行 \(j\) 列的余子式:
\[ M_{i,j}=\det A'_{i,j} \]
其中 \(A'_{i,j}\) 表示删除矩阵 \(A\) 第 \(i\) 行 \(j\) 列后所得矩阵。
代数余子式
矩阵 \(A\) 第 \(i\) 行 \(j\) 列的代数余子式:
\[ C_{i,j}=(-1)^{i+j}M_{i,j} \]
伴随矩阵
矩阵 \(A\) 的伴随矩阵 \(\text{adj} A\) 为 \(A\) 的余子矩阵的转置矩阵。
\[ \text{adj} A=C^{T} \]
可逆矩阵
对于可逆矩阵,\(A^{-1}=\dfrac{\text{adj} A}{\det A}\)。
若矩阵不可逆,则 \(\det A=0\)。
线性空间
若代数系统 \((V,+,\cdot,\mathbb{P})\) ,其中 \(V\) 为向量集,\((V,+)\) 为阿贝尔群,\(\mathbb{P}\) 为域,\(\cdot\) 为数乘运算,满足以下条件:
- 数乘:\(\mathbb{P}\) 中元素 \(p\) 与 \(V\) 中元素 \(v\) 运算结果 \(pv\) 在 \(V\) 中,且有意义,且满足封闭性。
- 数乘对向量和标量都满足加法分配律。
- 数乘满足结合律。
- 存在标量乘法单位元。
则称其为线性空间。
线性相关与线性无关
若向量组 \(a_i \in V\) 和任意标量组 \(k_i\in \mathbb{P}\) 满足 \(\sum k_ia_i=\theta\),则称这组向量线性无关,否则称线性相关。
零向量与任意向量线性相关。
线性基
线性空间 \(V\) 的一个极大线性无关组称为 \(V\) 的一组线性基,简称基。
\(V\) 的维数记为 \(\dim V\),为线性基元素个数。
- 标题: 线性代数学习笔记
- 作者: 夏佑 | XiaU
- 创建于 : 2023-08-02 00:00:00
- 更新于 : 2023-09-15 09:15:42
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