SDOI2006 保安站岗
一道很经典的树形dp题目。
Sol.
很明显的树形dp,先把方程设出来:
\(f_{x,0/1/2}\) 表示当前节点为 \(x\),\(0(自己覆盖)/1(儿子覆盖)/2(父亲覆盖)\),且其子节点都已全部覆盖的最小权值。
很套路的树形dp方程,分别考虑如何转移:
记 \(son(i)\) 表示 \(i\) 的所有子节点,\(k_i\) 表示控制 \(i\) 点所需的代价。
1. \(f_{x,0}\)(自己覆盖)
\(f_{x,0} = \sum\limits_{y\in son(x)}\min\{f_{y,0},f_{y,1},f_{y,2}\}+k_x\)
解释:由于当前节点自己覆盖自己,所以不需考虑其他的节点,在所有子节点中找到最小值转移即可。
2. \(f_{x,1}\)(儿子覆盖)
\(f_{x,1} = \sum\limits_{y\in son(x)}\min\{f_{y,0},f_{y,1}\}\)
解释:当当前节点被儿子覆盖时,说明当前节点不可能覆盖儿子节点,也就无法从 \(f_{y,2}\) 转移。
但是有一种这样的情况:当儿子节点全部选择 \(f_{y,1}\) 时,即儿子节点全部被它的儿子节点覆盖,在这种情况下 \(x\) 节点无法被儿子节点覆盖。
所以我们在转移的时候记一个 \(q\) 表示是否全部选择的 \(f_{y,1}\),如果是,则强制选择一个节点让其选择 \(f_{y,0}\)。我们要向最小化代价,显然要让强制选择的节点 \(f_{y,0}\) 与 \(f_{y,1}\) 的差值最小。所以现在转移方程如下:
\(f_{x,1} = \sum\limits_{y\in son(x)}\min\{f_{y,0},f_{y,1}\},\text{if all choose } f_{y,1},\text{then}+\min\limits_{y\in son(x)}\{f_{y,0}-f_{y,1}\}\)
3. \(f_{x,2}\)(父亲覆盖)
\(f_{x,2} = \sum\limits_{y\in son(x)}\min\{f_{y,0},f_{y,1}\}\)
解释:这个就比较简单了,当当前节点被父亲覆盖,直接从可能的方式转移即可。
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- 标题: SDOI2006 保安站岗
- 作者: 夏佑 | XiaU
- 创建于 : 2022-09-01 00:00:00
- 更新于 : 2023-09-15 09:14:41
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