运动学趣题浅析

Problem

现有三质点 \(A,B,C\) 分别位于边长为 \(l\) 的正三角形三顶点，并以相同速率 \(v\) 运动，且运动过程中 \(A\) 始终朝向 \(B\)，\(B\) 始终朝向 \(C\)，\(C\) 始终朝向 \(A\)。求：三质点相遇的时间及相遇时每个质点的路程。

进阶问题：问运动过程中每个质点的加速度如何变化。

Solution1：相对运动

以 \(B\) 为参照系。

则 \(A\) 靠近 \(B\) 速度 \(v_{n}=v_A+v_B\cos 60^\circ=\dfrac{3}{2}v\)。

有：

\[t=\dfrac{l}{v_n}=\dfrac{2l}{3v}\]

解得：

\[s=\dfrac{2}{3}l\]

Solution2：运动的分解

将 \(v_A\) 正交分解为 \(v_{//}\) 与 \(v_{\perp}\)，则 \(<v_A,v_{//}>=30^\circ\)。

有：

\[v_{//}=v_A\cos30^\circ\]

由于运动的对称性，则相遇点必在正三角形中心，有：

\[t=\dfrac{\overline{AO}}{v_{//}}=\dfrac{2l}{3v}\]

解得：

\[s=\dfrac{2}{3}l\]

Solution3：微元法1

im1.png

设微小时间 \(\text{d}t\) 后形成三角形为 \(\triangle A'B'C'\)，记 \(l_1=\overline{A'B'}\)。

则有：

\[ \begin{align*} l_1&=l-\overline{AA'}-\overline{BB'}\cos60^\circ\\ &=l-\dfrac{3}{2}v\text{d}t \end{align*} \]

递推可得：

\[ l_n=l-\dfrac{3n}{2}v\text{d}t \]

当三质点相遇时，\(l_n=0\)，所以：

\[ l=\dfrac{3}{2}v(n\text{d}t) \]

其中 \(n\text{d}t\) 为总时间 \(t\)，可得：

\[t=\dfrac{2l}{3v}\]

解得：

\[s=\dfrac{2}{3}l\]

Solution4：微元法2

同上解答图，在 \(\triangle A'BB'\) 中，由余弦定理：

\[ \begin{align*} l_1^2&=(v\text{d}t)^2+(1-v\text{d}t)^2-2(v\text{d}t)(1-v\text{d}t)\cos 60^\circ\\ &=l^2-3lv\text{d}t+3v^3\text{d}^2t \end{align*} \]

忽略二阶微分 \(3v^3\text{d}^2t\)，得：

\[ \begin{align*} l_1^2&=l^2-3lv\text{d}t\\ l_1&=l\sqrt{1-\dfrac{3v\text{d}t}{l}}\\ &=l\left(1-\dfrac{3v\text{d}t}{l}\right)^{\frac{1}{2}}\\ \end{align*} \]

根据泰勒一阶展开：

\[ \begin{align*} l_1&=l\left(1-\dfrac{3v\text{d}t}{l}\right)^{\frac{1}{2}}\\ &=l\left(1-\dfrac{3v\text{d}t}{2l}\right)\\ &=l-\dfrac{3}{2}v\text{d}t\\ \end{align*} \]

递推得：

\[ l_n=l-\dfrac{3n}{2}v\text{d}t \]

同上解答可得答案。

Solution Ex：加速度的变化

由于 \(v\) 恒定，则仅有切向加速度 \(a_n\)，有 \(a_n=\dfrac{v^2}{\rho}\)，其中 \(\rho=\dfrac{\text{d}x}{\text{d}\theta}\) 为曲率半径。

同 Solution \(3\) 图，记 \(\angle BA'B'=\theta\)。

则有：

\[ \begin{align*} \text{d}\theta&=\dfrac{v\text{d}t\sin60^\circ}{l-v\text{d}t-v\text{d}t\cos60^\circ}\\ &=\dfrac{v\text{d}t\sin 60^\circ}{l}\\ &=\dfrac{\sqrt{3}v\text{d}t}{2l} \end{align*} \]

可得：

\[ \rho=\dfrac{2l}{\sqrt{3}} \]

有：

\[a=a_n=\dfrac{v^2}{\rho}=\dfrac{\sqrt{3}v^2}{2l}\]

随着 \(t\) 变化，\(l\) 变小，\(a\) 变大。